Frações: nem tudo acaba em (problemas com) pizza
Mais do que representar as partes de um todo, as frações se relacionam a outros tipos de problema, como os que envolvem divisão e relação entre grandezas. Veja como abordá-los para que os alunos dominem o conteúdo
A atividade da próxima página foi feita por Júlia Mourão de Oliveira, 11 anos, do 5º ano do Colégio Pedro II, na capital fluminense. Para dar conta do desafio, ela e seus colegas precisaram ficar atentos a uma série de aspectos. Eles consideraram a escala (cada quilômetro equivale a um segmento), compararam frações, construíram relações entre elas e o inteiro e identificaram suas representações.
Os números foram escolhidos a dedo pela professora Lucíola Castilho. A intenção dela era apresentar exemplos que exigissem conhecimentos variados. No primeiro item, a fração citada tem o numerador menor que o denominador, caracterizando um número menor que um inteiro (fração própria). No segundo, o numerador é maior que o denominador (fração imprópria). No último, o número é composto de uma parte inteira e de outra fracionária (fração mista). Durante a correção, o que gerou mais debate foi qual ponto marcar: 1/4 ou o 3/4? Isso foi interessante porque a turma precisou retomar o enunciado e analisar qual informação estava sendo pedida.
Assim como Lucíola, provavelmente você já teve de pensar em problemas desafiadores, que sejam portas de entrada para o estudo das frações. O mais comum é abordar só a questão entre a parte e o todo - como a que apresenta o desenho de uma pizza dividida em oito pedaços. Um deles é pintado e a turma tem de dizer que fração representa. Desafios como esse são válidos, mas não podem ser os únicos. A construção do conceito sobre representações fracionárias exige trabalhar várias ideias ao mesmo tempo: além da relação entre a parte e o todo, também noções de divisão e de razão.
Para pensar sobre quando e como usar a divisão na resolução de um problema envolvendo fração, é preciso levar em conta os contextos apresentados nos enunciados (leia na próxima página propostas em que essas situações são exploradas).
Já o conceito de razão é ligado à variação dos valores de duas grandezas. Nas frações 16/4 e 12/3, por exemplo, a razão é 4, número encontrado na divisão do numerador pelo denominador. Esse conhecimento é essencial para estudar equivalência, tema que exige o uso das frações(leia na próxima página uma atividade em que o assunto é explorado).
Embora a relação entre a parte e o todo pareça ser mais conhecida e, por isso, mais simples de ensinar, ela requer atenção. Você precisa variar a maneira de redigir os enunciados para que cada desafio tenha uma complexidade. Veja dois exemplos: "Uma pessoa comprou 1 chocolate, o dividiu em 3 pedaços e comeu 2 deles. Qual fração representa o quanto ela comeu?" e "Comprei 2 chocolates e preciso compartilhar com 3 pessoas. Quanto cada uma ganhará?". A resposta de ambos pode ser 2/3, mas o segundo permite outra: 1/2 chocolate para cada criança mais 1/6, que é a metade restante dividida por três pessoas (conheça problemas sobre o tema na próxima página).
Quando os conhecimentos parecem não fazer mais sentido
Para compreender as ideias sobre números racionais (sejam eles representações fracionárias, decimais ou porcentagens), as crianças enfrentam uma ruptura: as regras, válidas até agora com números naturais, não servem mais. A partir daqui, os novos saberes com os racionais vão ser construídos durante a resolução de desafios que tenham sentido para elas.
Sandra Maria Pinto Magina, especialista em Educação Matemática e professora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), ressalta que nesses primeiros contatos com as representações fracionárias é provável que os alunos sigam o raciocínio da ordenação dos números naturais. Eles já sabem que 3 é maior do que 2. Então podem achar que o mesmo se aplica a 1/3 e 1/2. "Para solucionar obstáculos como esses, é preciso propor situações em que eles pensem sobre o que a fração representa em cada problema", diz.
Ao trabalhar no contexto de um problema, é possível perguntar: "Quem vai comer mais, quem ficou com 1/2 ou 1/3 do doce?" Outras opções: "O que fazer com o resto da divisão em problemas que envolvem diferentes elementos, como copos e refrigerante?", "Tem sentido continuar dividindo o refrigerante que sobrou?" e "É possível repartir os copos?". Questões desse tipo são importantes para que os alunos percebam que não adianta pensar só na operação a realizar, mas em todas as informações fornecidas. "Para isso, a variedade de propostas e discussões é essencial", explica Angélica da Fontoura Garcia Silva, professora da pós-graduação da Universidade Bandeirante (Uniban), na capital paulista, que defendeu seu doutorado sobre ensino de frações.
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Os números foram escolhidos a dedo pela professora Lucíola Castilho. A intenção dela era apresentar exemplos que exigissem conhecimentos variados. No primeiro item, a fração citada tem o numerador menor que o denominador, caracterizando um número menor que um inteiro (fração própria). No segundo, o numerador é maior que o denominador (fração imprópria). No último, o número é composto de uma parte inteira e de outra fracionária (fração mista). Durante a correção, o que gerou mais debate foi qual ponto marcar: 1/4 ou o 3/4? Isso foi interessante porque a turma precisou retomar o enunciado e analisar qual informação estava sendo pedida.
Assim como Lucíola, provavelmente você já teve de pensar em problemas desafiadores, que sejam portas de entrada para o estudo das frações. O mais comum é abordar só a questão entre a parte e o todo - como a que apresenta o desenho de uma pizza dividida em oito pedaços. Um deles é pintado e a turma tem de dizer que fração representa. Desafios como esse são válidos, mas não podem ser os únicos. A construção do conceito sobre representações fracionárias exige trabalhar várias ideias ao mesmo tempo: além da relação entre a parte e o todo, também noções de divisão e de razão.
Para pensar sobre quando e como usar a divisão na resolução de um problema envolvendo fração, é preciso levar em conta os contextos apresentados nos enunciados (leia na próxima página propostas em que essas situações são exploradas).
Já o conceito de razão é ligado à variação dos valores de duas grandezas. Nas frações 16/4 e 12/3, por exemplo, a razão é 4, número encontrado na divisão do numerador pelo denominador. Esse conhecimento é essencial para estudar equivalência, tema que exige o uso das frações(leia na próxima página uma atividade em que o assunto é explorado).
Embora a relação entre a parte e o todo pareça ser mais conhecida e, por isso, mais simples de ensinar, ela requer atenção. Você precisa variar a maneira de redigir os enunciados para que cada desafio tenha uma complexidade. Veja dois exemplos: "Uma pessoa comprou 1 chocolate, o dividiu em 3 pedaços e comeu 2 deles. Qual fração representa o quanto ela comeu?" e "Comprei 2 chocolates e preciso compartilhar com 3 pessoas. Quanto cada uma ganhará?". A resposta de ambos pode ser 2/3, mas o segundo permite outra: 1/2 chocolate para cada criança mais 1/6, que é a metade restante dividida por três pessoas (conheça problemas sobre o tema na próxima página).
Quando os conhecimentos parecem não fazer mais sentido
Para compreender as ideias sobre números racionais (sejam eles representações fracionárias, decimais ou porcentagens), as crianças enfrentam uma ruptura: as regras, válidas até agora com números naturais, não servem mais. A partir daqui, os novos saberes com os racionais vão ser construídos durante a resolução de desafios que tenham sentido para elas.
Sandra Maria Pinto Magina, especialista em Educação Matemática e professora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), ressalta que nesses primeiros contatos com as representações fracionárias é provável que os alunos sigam o raciocínio da ordenação dos números naturais. Eles já sabem que 3 é maior do que 2. Então podem achar que o mesmo se aplica a 1/3 e 1/2. "Para solucionar obstáculos como esses, é preciso propor situações em que eles pensem sobre o que a fração representa em cada problema", diz.
Ao trabalhar no contexto de um problema, é possível perguntar: "Quem vai comer mais, quem ficou com 1/2 ou 1/3 do doce?" Outras opções: "O que fazer com o resto da divisão em problemas que envolvem diferentes elementos, como copos e refrigerante?", "Tem sentido continuar dividindo o refrigerante que sobrou?" e "É possível repartir os copos?". Questões desse tipo são importantes para que os alunos percebam que não adianta pensar só na operação a realizar, mas em todas as informações fornecidas. "Para isso, a variedade de propostas e discussões é essencial", explica Angélica da Fontoura Garcia Silva, professora da pós-graduação da Universidade Bandeirante (Uniban), na capital paulista, que defendeu seu doutorado sobre ensino de frações.
Exemplos de problemas
Análise da resoluçãoA aluna Júlia analisou os contextos e decidiu levar em conta apenas o primeiro quilômetro do percurso para responder ao item A e a distância total para os demais itens.
Você comeu 1/8 da pizza.
2. Um recipiente possui 1/3 do volume inicial que ele continha. Se retirarmos metade do que ficou, qual é a fração que pode representar o que sobrou?
Análise da resolução No problema 1, a aluna do 5º ano Vitória Torres, 10 anos, fez diversos desenhos antes de encontrar o resultado que procurava: dividiu a pizza em 16 pedaços, depois desenhou apenas uma fatia e a dividiu em dois para, enfim, ficar satisfeita com o resultado (1/8). Na atividade 2, Vitória fez uma figura, que foi dividida em três e em seguida repartida novamente, chegando a seis partes. Durante a correção, a professora Claudia pediu que toda a turma socializasse suas estratégias. Alguns apresentaram a seguinte forma: calcularam a divisão da fração 1/3 por outra, 1/2.
Muitas frações em uma reta
A professora Lucíola Castilho, do Colégio Pedro II, na capital fluminense, incluiu diferentes desafios em cada item do problema
1. Imagine um motorista que percorre os 5 quilômetros entre a cidade A e a B. Marque na reta que representa a estrada os seguintes locais por onde ele passa:
A. A lanchonete, que fica 1/4 antes de completar o primeiro quilômetro;
B. A padaria, que é vista quando o motorista percorre 7/2 do trajeto;
C. O mercado, que está no ponto 2 1/4 do caminho até a cidade.
A professora Lucíola Castilho, do Colégio Pedro II, na capital fluminense, incluiu diferentes desafios em cada item do problema
1. Imagine um motorista que percorre os 5 quilômetros entre a cidade A e a B. Marque na reta que representa a estrada os seguintes locais por onde ele passa:
A. A lanchonete, que fica 1/4 antes de completar o primeiro quilômetro;
B. A padaria, que é vista quando o motorista percorre 7/2 do trajeto;
C. O mercado, que está no ponto 2 1/4 do caminho até a cidade.
Observar o contexto para dividir
Carolina Honorato, da Escola Santi, na capital paulista, apresentou problemas em que a operação é a mesma, mas não o raciocínio
1. Antonio tem uma coleção de 86 miniaturas de carros e quer agrupá-los em quatro caixas de modo que todas tenham a mesma quantidade. O que ele deve fazer? Quantos carrinhos ficarão em cada caixa?
Ele deve deixar 21 carrinhos em cada caixa, deixando 2 de fora.
2. Com uma fita de 86 centímetros foram feitos 4 laços. Qual o comprimento da fita de cada laço? Registre a resposta com uma fração.
O comprimento é de 21 1/2.
Análise da resolução
Guilherme dos Santos, 10 anos, do 5º ano, sabe que carrinhos não podem ser divididos. Por isso, na resposta do problema 1 citou o resto. Na segunda atividade, preferiu usar a fração 1/2, mas poderia ter escrito 2/4.
Carolina Honorato, da Escola Santi, na capital paulista, apresentou problemas em que a operação é a mesma, mas não o raciocínio
1. Antonio tem uma coleção de 86 miniaturas de carros e quer agrupá-los em quatro caixas de modo que todas tenham a mesma quantidade. O que ele deve fazer? Quantos carrinhos ficarão em cada caixa?
2. Com uma fita de 86 centímetros foram feitos 4 laços. Qual o comprimento da fita de cada laço? Registre a resposta com uma fração.
Análise da resolução
Guilherme dos Santos, 10 anos, do 5º ano, sabe que carrinhos não podem ser divididos. Por isso, na resposta do problema 1 citou o resto. Na segunda atividade, preferiu usar a fração 1/2, mas poderia ter escrito 2/4.
Razão para compreender a relação entre as grandezas
Lucíola, do Colégio Pedro II, também propôs desafios para os alunos compararem frações e entenderem a equivalência
1. Separe as 18 tampinhas em três grupos de mesma quantidade:
A. Quantas tampinhas você colocou em cada grupo?
Eu coloquei 6 tampinhas em cada grupo.
B. Um grupo corresponde à qual fração do total de tampinhas?
C. Agora divida as tampinhas igualmente em 6 grupos:
D. Quantas tampinhas você colocou em cada grupo?
Eu coloquei 3 tampinhas.
E. Um grupo corresponde a que fração do total de tampinhas?
F. Quantos grupos do item "C" correspondem a um grupo do item "A"?
Dois grupos do item C correspondem a 1 do grupo A.
Análise da resolução
À medida que Helena Bastos Peres, 11 anos, do 5º ano, pensou em como separar as tampinhas, compôs a razão entre o todo e a parte e usou a fração para representar essa ideia - como nos itens B e E. Com base nas respostas dela e de outros alunos, a professora Lucíola discutiu o conceito de equivalência, em que duas ou mais frações representam um mesmo número. Elas apareceram no item F, quando Helena respondeu 1/3 e 2/6, representando o mesmo valor.
Lucíola, do Colégio Pedro II, também propôs desafios para os alunos compararem frações e entenderem a equivalência
1. Separe as 18 tampinhas em três grupos de mesma quantidade:
Eu coloquei 6 tampinhas em cada grupo.
B. Um grupo corresponde à qual fração do total de tampinhas?
Eu coloquei 3 tampinhas.
E. Um grupo corresponde a que fração do total de tampinhas?
Dois grupos do item C correspondem a 1 do grupo A.
À medida que Helena Bastos Peres, 11 anos, do 5º ano, pensou em como separar as tampinhas, compôs a razão entre o todo e a parte e usou a fração para representar essa ideia - como nos itens B e E. Com base nas respostas dela e de outros alunos, a professora Lucíola discutiu o conceito de equivalência, em que duas ou mais frações representam um mesmo número. Elas apareceram no item F, quando Helena respondeu 1/3 e 2/6, representando o mesmo valor.
Olhar o que é parte e o que é todo
Veja a proposta de Claudia de Lorenci, da EM Professor Rosalvito Cobra, em São Caetano do Sul, na região metropolitana de São Paulo
1. Ontem meus irmãos comeram pizza no jantar e sobrou 1/4 dela. Hoje, almocei a metade do que tinha. Que parte da pizza eu comi?
Veja a proposta de Claudia de Lorenci, da EM Professor Rosalvito Cobra, em São Caetano do Sul, na região metropolitana de São Paulo
1. Ontem meus irmãos comeram pizza no jantar e sobrou 1/4 dela. Hoje, almocei a metade do que tinha. Que parte da pizza eu comi?
2. Um recipiente possui 1/3 do volume inicial que ele continha. Se retirarmos metade do que ficou, qual é a fração que pode representar o que sobrou?
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Tenho aprendido muitas coisas sobre a Prova Brasil...
ResponderExcluirEsses encontros tem sido importantíssimos. Estou gostando muito!!!
Jair, professor do 4º ano da Escola Professor Messias de Moraes Teixeira.